Matematiche non si nasce

Di Jo Boaler ho già parlato in altre occasioni, e ogni estate mi piace leggere e spulciare idee dai suoi libri Mindset Mathematics, che esistono per tutte le classi della primaria e oltre. Sono libri pratici, operativi e molto interessanti, purtroppo disponibili solo in inglese. Ogni volume è organizzato attorno a big ideas ciascuna delle quali raccoglie una sequenza di attività collegate tra loro. Proverò a presentarne qualcuna che mi ha colpita, e comincio dalla prima del volume di seconda: si chiama Partitioning Shapes into Equal Parts. Vale la pena conoscerla perché è un’attività propedeutica a molto di quello che faremo dopo, e in particolare si lega al lavoro sulle frazioni che svilupperemo anche attraverso il progetto PerContare. Si tende a pensare che le frazioni, e tutto il ragionamento che ci ruota intorno, siano un territorio della terza classe in poi, ma in realtà fin da prima ci sono riflessioni ricche e serie che si possono avviare, riflessioni che aprono anche a una visione più ampia della geometria e della matematica in generale (per qualche esempio vedi qui o qui). Partire dalla domanda “cosa significa che due parti sono uguali?” è già fare matematica in modo profondo, molto prima che compaia il simbolo di frazione.

Quasi sempre quando si introduce la nozione di frazione si mostra loro un rettangolo diviso in n parti uguali, e quelle n parti hanno sempre la stessa forma. Quattro quadratini, o quattro rettangoli disposti in fila. I bambini imparano così, senza che nessuno glielo dica esplicitamente, che le parti uguali devono avere la stessa forma; ebbene questa convinzione, una volta instillata, è sorprendentemente difficile da sradicare.

Immagine presa dal libro Mindset Mathematics, Grade 2 di Jo Boaler, Jen Munson e Cathy Williams (Jossey-Bass, 2022)

Il cuore della questione è la distinzione tra uguale e congruente. Due forme sono congruenti quando hanno la stessa forma e la stessa dimensione, e possono essere sovrapposte perfettamente. Due parti di un intero sono uguali quando occupano la stessa porzione dell’intero, cioè quando hanno la stessa area, anche se la forma può essere diversa. Nella didattica delle frazioni queste due cose vengono quasi sempre presentate insieme, come se fossero la stessa cosa, e i bambini crescono con l’idea che lo siano davvero. Questa attività descritta da Boaler serve a creare un’incrinatura in questa certezza, in modo costruttivo e concreto.

La sequenza si apre con un’immagine: due quadrati, entrambi divisi in quattro parti. Il primo è diviso con linee orizzontali e verticali che formano quattro quadratini congruenti. Il secondo è diviso in modo diverso, alcune linee diagonali, forme diverse tra loro, ma ciascuna esattamente un quarto dell’intero. La domanda che si pone ai bambini è semplice: le parti sono uguali? Come lo sai?

Questa domanda, apparentemente ovvia, non lo è affatto. Invita i bambini a riflettere sul significato di uguale e li costringe a cercare argomenti, non solo risposte. Alcuni diranno che le parti del secondo quadrato non sono uguali perché non hanno la stessa forma. Qui non si corregge subito: si lascia che la questione resti aperta, si invitano i bambini a esplorare, a tagliare, a piegare, a sovrapporre, a decidere da soli. La discussione è parte essenziale dell’attività.

L’attività successiva è chiamata Four Fourths, si distribuiscono ai bambini più copie dello stesso quadrato di carta (carta da origami, carta da lucido, foglietti adesivi quadrati, comunque tutti della stessa dimensione) e si chiede loro di trovare quanti più modi possibile per dividere quel quadrato in quattro parti uguali ma non congruenti. Non quattro quadratini, non quattro rettangoli, quattro pezzi che siano ciascuno un quarto del tutto, ma con forme diverse tra loro.

Lavorando in coppia, i bambini tagliano e piegano, provano, discutono, tengono i pezzi e li rimescolano. Quando hanno una collezione di quarti, si chiede loro di costruire un nuovo intero ricomponendo quei pezzi in modo diverso da come erano nel quadrato originale. Il risultato sarà una forma nuova (non necessariamente un quadrato) che però è uguale all’originale per dimensione, perché è fatta degli stessi quattro quarti. Questa è la domanda riflessiva su cui Boaler chiude: come sai che la nuova forma che hai costruito è uguale al quadrato da cui sei partito?

La terza attività sposta l’attenzione dai quarti alle righe e colonne di quadratini. Si danno ai bambini rettangoli di tre dimensioni diverse e materiali vari (spaghetti crudi, stecchini, righelli, piastrelle quadrate, cubi) e si chiede loro di capire come si possa dividere ogni rettangolo in righe e colonne di unità quadrate uguali. Non è semplice come sembra. tenere insieme il vincolo dell’uguaglianza e quello della forma quadrata, e far sì che le unità coprano l’intero rettangolo senza lasciare spazi o uscire dai bordi, richiede tentativi, aggiustamenti, riflessione. È il punto in cui le frazioni cominciano a toccare la moltiplicazione e la misura dell’area, anche se in modo del tutto intuitivo e concreto.

Per chi volesse provarle in classe, gli ingredienti sono quelli raccontati. Il lavoro in coppia è parte della struttura, perché le discussioni tra bambini sono il luogo in cui l’idea prende forma. Le domande da tenere in mente durante l’esplorazione sono quelle che il libro suggerisce: come sai che le parti sono uguali? Cosa significa che due cose sono uguali? Cosa hai imparato da questo tentativo che non ha funzionato?

Le attività descritte sono tratte da Mindset Mathematics, Grade 2 di Jo Boaler, Jen Munson e Cathy Williams (Jossey-Bass, 2022), riprodotte a scopo divulgativo e non commerciale

Big Ideas – classe seconda